Расстояние, скорость, время

Время

Иногда возникает ситуация, когда требуется узнать за какое время тело преодолеет то или иное расстояние.

Например, от дома до спортивной секции 1000 метров. Мы должны доехать туда на велосипеде. Наша скорость будет 500 метров в минуту (500м/мин). За какое время мы доедем до спортивной секции?

Если за одну минуту мы будем проезжать 500 метров, то сколько таких минут с пятью ста метрами будет в 1000 метрах?

Очевидно, что надо разделить 1000 метров на то расстояние, которое мы будем проезжать за одну минуту, то есть на 500 метров. Тогда мы получим время, за которое доедем до спортивной секции:

1000 : 500 = 2 (мин)

Время движения обозначается маленькой латинской буквой t.

Где упоминается скорость тела?

На самом деле, в реальном мире мы сталкиваемся со скоростью ежесекундно. Если так подумать, на Земле постоянно что-то да находится в движении. Вы можете попробовать возразить, ограничившись, например, пределами своей комнаты. То есть, по мнению некоторых людей, ночью в комнате ничего не движется. Кровати, шкафы, стулья, стол и прочие предметы находятся на своих местах, в то время как сам человек спит, то есть не движется.

Следовательно, скорость любого элемента данной системы (комнаты, как мы условились считать) равна нулю. Да, в этом что-то есть, и с одной стороны, человек, выдвинувший такое предположение, мог оказаться правым. Но не следует забывать о том, что своеобразную систему представляет собой сама наша планета Земля, а не только предметы, которые на ней находятся. А ведь все мы знаем, что ежесекундно Земля вращается вокруг своей оси. В этой системе отсчета все тела, находящиеся в пределах планеты, также совершают движение. Поэтому говорить о том, что предмет, который, казалось бы, не двигается, находится в абсолютном покое, нельзя. Это первое, что нужно было бы сказать о скорости тела.

С детской скамьи мы учимся решать много задач не только физического, но и математического характера. Их в настоящее время не так много, и ставка делается больше на гуманитарные дисциплины наподобие иностранного языка, хотя они не должны преподаваться в ущерб родному языку и техническим дисциплинам. Но речь немного не об этом. Так вот, понятие скорости тела мы можем встретить не только в задачах по физике, хотя там она встречается, пожалуй, наиболее часто. Несколько реже, но все же фигурирует скорость тела и в задачах по математике.

Наверняка все помнят эти до ужаса ненавистные (в большинстве случаев) задачи, в которых требовалось найти, через сколько времени встретятся два автомобиля, если они движутся с такими-то скоростями. Условия при этом могут быть самые разные. То движение происходит по круговой траектории (спортсмены на велосипедах или мотоциклах), то по прямолинейной траектории. В общем, задач множество. И как бы там ни было, а наша задача заключается в том, чтобы понять, что нужно делать, столкнувшись с вопросом о том, как найти скорость в том или ином случае.

Скорость

Скоростью называют расстояние, пройденное телом за единицу времени. Под единицей времени подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда.

Предположим, что двое школьников решили проверить, кто быстрее добежит от двора до спортплощадки. Расстояние от двора до спортплощадки 100 метров. Первый школьник добежал за 25 секунд. Второй за 50 секунд. Кто добежал быстрее?

Быстрее добежал тот, кто за 1 секунду пробежал бóльшее расстояние. Говорят, что у него скорость движения больше. В данном случае скорость школьников это расстояние, которое они пробегают за 1 секунду.

Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения.  Давайте найдём скорость первого школьника. Для этого разделим 100 метров на время движения первого школьника, то есть на 25 секунд:

100 м : 25 с = 4

Если расстояние дано в метрах, а время движения в секундах, то скорость измеряется в метрах в секунду (м/с). Если расстояние дано в километрах, а время движения в часах, скорость измеряется в километрах в час (км/ч). 

У нас расстояние дано в метрах, а время в секундах. Значит скорость измеряется в метрах в секунду (м/с)

100м : 25с = 4 (м/с)

Итак, скорость движения первого школьника составляет 4 метра в секунду (м/с).

Теперь найдем скорость движения второго школьника. Для этого разделим расстояние на время движения второго школьника, то есть на 50 секунд:

100 м : 50 c = 2 (м/с)

Значит скорость движения второго школьника составляет 2 метра в секунду (м/с).

Скорость движения первого школьника — 4 (м/с)
Скорость движения второго школьника — 2 (м/с)

4 (м/с) > 2 (м/с)

Скорость первого школьника больше. Значит он добежал до спортплощадки быстрее. Скорость обозначается латинской буквой v.

Примеры решения задач

Задание. Движение материальной точки А задано уравнением: $x=2 t^-4 t^$ . Точка начала свое движение при t=0 c.Как будет двигаться рассматриваемая точка по отношению к оси X в момент времени t=0,5 с.

Решение. Найдем уравнение, которое будет задавать скорость рассматриваемой материальной точки, для этого от функции x=x(t), которая задана в условиях задачи, возьмем первую производную по времени, получим:

Для определения направления движения подставим в полученную нами функцию для скорости v=v(t) в (1.1) указанный в условии момент времении сравним результат с нулем:

Так как мы получили, что скорость в указанный момент времени отрицательна, следовательно, материальная точка движется против оси X.

Ответ. Против оси X.

Формула скорости не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Задание. Скорость материальной точки является функцией от времени вида:

где скорость в м/с, время в c. Какова координата точки в момент времени равный 10 с, в какой момент времени точка будет на расстоянии 10 м от начала координат? Считайте, что при t=0 c точка началадвижение из начала координат по оси X.

Решение. Точка движется по оси X, cвязь координаты x и скорости движения определена формулой:

Для ответа на первый вопрос задачи подставим в выражение (2.1) время t=10 c, имеем:

Для того чтобы определить в какой момент времени точка будет находиться на расстоянии 10 м от начала координат приравняем выражение (2.1) к 10 и решим, полученное квадратное уравнение:

$$ \begin10 t-t^=10(2.2) \\ t_=5+\sqrt \approx 8,8(c) ; t_=5-\sqrt \approx 1,13(c) \end $$

Рассмотрим второй вариант нахождения точки на расстоянии 10 м от начала координат, когда x=-10. Решим квадратное уравнение:

При решении уравнения (2.3) нам подойдет корень равный:

Ответ. 1) $x=0 \mathrm

m>$ 2) $t_=8,8 \mathrm, t_=1,13 c, t_=11 c$

Класс: 4

Цели:

  • закрепить знания нахождения скорости, времени, расстояния;
  • ввести формулы;
  • учиться решать задачи с этими величинами по формулам и без них;
  • развивать мышление и память;
  • прививать любовь к математике.

1. Организация учащихся.

2. Сообщение темы.

— Сегодня на уроке мы закрепим знания нахождения скорости, времени, расстояния. Будем учиться решать задачи с помощью формул.

— А работать мы будем в форме соревнований трех команд:

  • 1 ряд — автомобилисты
  • 2 ряд — летчики
  • 3 ряд — мотоциклисты

— Баллы будем выставлять на доске

3. Соотнести записи с картинкой.

— Как вы думаете, что написано на доске? (Скорости)

— Соотнесите их с нужной картинкой.

(12 км/ч, 60 км/ч, 5 км/ч, 70 км/ч, 120 км/ч, 800 км/ч, 8 км/с, 50 км/ч,250 км/ч.

Автобус, самолет, ракета, пешеход, поезд, велосипедист , автомобиль, пароход, мотоциклист) Каждая команда выставляет по 3 ученика.

— Как вы понимаете км/сек, км/ч, м/мин.

а) В тетрадь записываете ответ с наименованием.

Таблица на интерактивной доске.

Что такое мгновенная скорость

Определение

Мгновенная скорость (МС) — это векторная физическая величина. Численно равна пределу, к которому стремится средняя скорость за наименьший возможный промежуток времени.

Формула МС выглядит так:

\(\overrightarrow v=\lim_{\triangle t\rightarrow0}\frac{\triangle\overline S}{\triangle t}=\overline r’(t)\)

Эта физическая величина дает точное представление о движении в определенный момент времени. Чтобы легче было понять, представим водителя за рулем автомобиля. Он смотрит на спидометр, который показывает 50 км/ч. Через какое-то время водитель снова смотрит на спидометр и видит значение 60 км/ч. Таким образом, он наблюдает движение автомобиля в определенный момент времени, то есть, его мгновенную скорость.

Однако выражение «в данный момент времени» с точки зрения физики некорректно. Так как V — это характеристика изменения перемещения тела в пространстве, чтобы выполнить ее измерение, нужно наблюдать за перемещением тела определенный промежуток времени. Даже самые совершенные аппараты измеряют промежуток времени, а не момент. Поэтому измерить скорость в моменте — трудновыполнимая задача. Но этим понятием все равно пользуются, так как оно удобно в математических расчетах.

Траектория, радиус-вектор, закон движения тела

Кинематикой занимался еще Аристотель. Правда, тогда это не называлось кинематикой. Затем очень большой вклад  в развитие механики, и кинематики в частности, внес Галилео Галилей, изучавший свободное падение и инерцию тел.

Итак, кинематика решает вопрос: как тело движется. Причины, по которым оно пришло в движение, ее не интересуют

Кинематике не важно, сама поехала машина, или ее толкнул гигантский динозавр. Абсолютно все равно

Сейчас мы будем рассматривать самую простую кинематику – кинематику точки. Представим, что тело (материальная точка) движется

Не важно, что это за тело, все равно мы рассматриваем его, как материальную точку. Может быть, это НЛО в небе, а может быть, бумажный самолетик, который мы запустили из окна

А еще лучше, пусть это будет новая машина, на которой мы едем в путешествие. Перемещаясь из точки А в точку Б, наша точка описывает воображаемую линию, которая называется траекторией движения. Другое определение траектории – годограф радиус вектора, то есть линия, которую описывает конец радиус-вектора материальной точки при движении.

Радиус-вектор – вектор, задающий положение точки в пространстве.

Для того, чтобы узнать положение тела в пространстве в любой момент времени, нужно знать закон движения тела – зависимость координат  (или радиус-вектора точки) от времени.

Мгновенная скорость

Описанное затруднение можно разрешить, если учесть, что движение – процесс непрерывный. Ни координаты точки, ни ее скорость не могут изменяться скачками. Во время движения точка проходит все бесчисленное множество координат пути, на всем пути скорость ее непрерывно изменяется в некотором диапазоне, и при этом, чем меньше рассматриваемый отрезок времени, тем меньше будет изменение координаты и скорости.

Рассмотрим падение предмета, начиная с конца первой секунды. В этот момент координата будет равна 4.905м. Отметим новую координату падающего предмета через небольшое время, и вычислим скорость:

Время

Координата

Скорость

1.000

4.905

2.000

19.620

14.715

1.500

11.036

12.263

1.100

5.935

10.301

1.050

5.408

10.055

1.010

5.004

9.859

1.001

4.915

9.815

Можно видеть, что с уменьшением рассматриваемого отрезка времени, изменение вычисленной скорости между строками таблицы также становится меньше.

Приведенный пример показывает главный прием, который используется для изучения непрерывных величин – изучаемый диапазон разбивается на мелкие участки, на которых изменение скорости невелико, и движение мало отличается от непрерывного. В пределе время прохождения каждого такого участка стремится к нулю, а скорость на его протяжении постоянна.

Скорость материальной точки в данный момент времени при прохождении данного малого участка пути называется мгновенной скоростью.

Рис. 3. Мгновенная скорость.

Мгновенная скорость материальной точки равна отношению малого перемещения на пути движения к времени прохождению этого перемещения. Формула мгновенной скорости:

$$v={ΔS\over Δt}, при Δt \rightarrow 0$$

Если для моментов времени, приведенных выше, измерить точные значения мгновенной скорости падающего предмета, то получим следующую таблицу (с отличиями от предыдущей таблицы):

Время

Мгновенная скорость

Отличие,%

2.000

19.620

25.00

1.500

14.715

16.67

1.100

10.791

4.55

1.050

10.301

2.38

1.010

9.908

0.5

1.001

9.820

0.05

Можно видеть, что по мере уменьшения рассматриваемых отрезков времени отличия между первой и второй таблицей уменьшаются.

Что мы узнали?

Мгновенная скорость – это скорость прохождения данного малого участка пути за малый промежуток времени. В идеале мгновенная скорость определяется на текущем бесконечно малом промежутке времени, за который совершается бесконечно малое перемещение.

  1. Вопрос 1 из 10

Начать тест(новая вкладка)

Как найти скорость сближения?

Допустим, что у нас есть два тела, которые движутся с известными скоростями. В общем виде пускай это будет V1 и V2. Тогда скорость их сближения будет равна модулю разности. То есть V1 – V2, взятое со знаком “плюс”. Модуль берется для того, чтобы не вдаваться в векторные нюансы, то есть не работать с направлением скоростей, поскольку скорость, как и ускорение, — величина не скалярная, а векторная. Но усложнения в школьной программе ни к чему (по крайней мере, подобные), поэтому применяется модуль.

В этой статье мы приведем распространенную формулу в физике, связанную со скоростью, временем и расстоянием. Каким образом указать, как с помощью нее можно вычислить любой из трех компонентов? Хотите на примерах убедиться, как решать такие задачи? Тогда приступим.

Чтобы рассчитать физические величины скорость, время и расстояние, необходимо понимать, что это величины связанные с процессом движения. Движение может быть равноускоренное, равнозамедленное, равномерное. Соответственно, при равноускоренном и равнозамедленном движении, скорость тела изменяется со временем. При равномерном движении скорость тела постоянна.

  1. Чтобы найти скорость, необходимо расстояние разделить на время. Допустим, обозначим, что эти символы означают: V – c корость, s — путь, t — время. V = S / t. Например, время за которое движется поезд 2 часа. Он прошёл расстояние 120 км/ч. Какова скорость с которой шёл поезд? Решение : 120/2=60 км/ч
  2. Чтобы найти путь, необходимо скорость умножить на время. Символы означают: V – cкорость, s — путь, t — время. S = V * t. Пример: скорость с которой движется автобус 120 км/ч, а время которое необходимо ему, чтобы добраться до пункта назначения — 4 часа. Какое расстояние необходимо пройти автобусу? Ответ: 120 к/ч* 4= 480 км. Вот расстояние которое прошел автобус.
  3. Как узнать время? Используем те же самые символы. Итак V – cкорость, s — путь, t — время. t = S / v . Например, путь который проехал велосипедист 90 км со скоростью 30 км/ч. Каково время, за которое он проехал ? 90/30 =3 км/ч

Вот Вы и узнали, как найти скорость, время, расстояние. Зная расстояние и время, мы способны найти скорость. Соответственно, зная путь и скорость, мы способны вычислить расстояние. А зная скорость и расстояние – время. Таким образом, чтобы найти один из компонентов, нам необходим другой компонент.

Материальная точка в Системе Отсчета

При изучении движения необходимо уметь определять положение тела в пространстве. Для этого используются понятие Системы Отсчета и понятие Материальной точки.

Сперва необходимо задаться некоторым базисом – телом, относительно которого будут определяться положение других тел. Такое тело называется Телом Отсчета.

С Телом Отсчета связывается система координат – от одной до трех осей, которые однозначно определяют положение изучаемого тела относительно тела отсчета.

Наконец, поскольку движение всегда происходит во времени, необходима система измерения времени. Некоторый момент принимается за нулевой, кроме того, определяется единица измерения времени.

Тело Отсчета, система координат, связанная с ним и система измерения времени вместе называются Системой Отсчета.

Рис. 1. Система отсчета в физике.

Система координат может задавать положение геометрических точек. А поскольку геометрические размеры и форма тела во многих случаях (но не всегда) не имеют значения, появляется возможность заменить рассматриваемое тело одной точкой. Движение описывается для этой одной точки, а движенbями остальных точек тела пренебрегают. Вся масса тела приписывается этой одной точке. Такая точка называется «материальной».

Рис. 2. Материальная точка.

Скорость при неравномерном движении

Скорость – величина, показывающая, какое расстояние проходит материальная точка за единицу времени:

$$v= {S\over t}$$

Рис. 1. Скорость равномерного прямолинейного движения.

Однако, для определения положения материальной точки в любой момент времени, во многих случаях эту формулу применять нельзя.

В самом деле, если провести опыт, можно видеть, что на Земле предмет падает с высоты 20м за 2.02с. Откуда следует, что скорость падения составляет:

$$v={20\over 2.02}=9.9(м/с)$$

Выходит, что через полсекунды после начала падения предмет окажется на 5м ниже, чем исходная точка, через секунду – на 9.9м ниже.

Однако, проведя реальное измерение, можно убедиться, что это совсем не так. За первую секунду предмет пройдет только 4.9м. А за первые полсекунды – всего лишь 1.23м ! Если же высота падения будет больше, то за три секунды путь составит не 29.7м, как следует из формулы, а больше 40м !

Рис. 2. Стробоскопическое фото свободного падения.

Причина такого расхождения с расчетом состоит в том, что предмет под действием тяготения Земли движется неравномерно, постоянно изменяя скорость. И на каком бы участке мы не измерили его скорость – полученное значение будет различно, и его невозможно будет использовать в расчетах и уравнениях для других участков.

Свести неравномерное движение к равномерному невозможно.

Расстояние, длина пройденного пути

Здесь будет легче сориентироваться, скорее всего, автомобилистам, у которых есть счетчик пробега в машине. Они смогут определить, сколько километров проехали, а еще и скорость знают. Но так как движение неравномерное, то установить тоное время перемещения не получится, если только мы возьмем среднюю скорость.

Формула пути (расстояния) – произведение скорости и времени. Конечно же, самый удобный и доступный параметр — это время. Часы есть у всех. Скорость пешехода не строго 5 км/ч, а приблизительно. Поэтому здесь может быть погрешность. В таком случае, вам лучше взять карту местности

Обратите внимание, какой масштаб. Должно быть указано, сколько километров или метров в 1 см

Приложите линейку и замерьте длину. Например, от дома до музыкальной школы прямая дорога. Отрезок получился 5 см. А в масштабе указано 1 см = 200 м. Значит, реальное расстояние — 200*5=1000 м=1 км. За сколько вы проходите это расстояние? За полчаса? Выражаясь техническим языком, 30 мин=0,5 ч=(1/2) ч. Если мы решим задачу, то получится, что идете со скоростью 2 км/ч. Всегда вам поможет решить задачу формула «скорость, время, расстояние».

Задачи на движение по течению и против течения: примеры с решением

В условиях задач на движение по реке всегда дано две скорости: собственная скорость судна (скорость, с которой он может двигаться в неподвижной воде) и скорость течения.

При этом возможны две ситуации: когда судно движется по течению и когда судно движется против течения.

Когда судно движется по течению, то течение помогает судну двигаться, оно начинает двигаться быстрее, следовательно, собственная скорость судна и скорость течения складываются.

Когда же судно двигается против течения, то оно ощущает сопротивление, плыть ему становится тяжелее. В этом случае скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.

Давайте рассмотрим примеры решения задач на движение по реке.

Задача 1

Катер прошел против течения реки 160 км/ч и вернулся в пункт отправления, затратив времени на обратный путь на 8 часов меньше. Найдите скорость катера в неподвижной воде, если известно, что скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение:

1. Обозначим собственную скорость катера – х.

Составим таблицу:2. На основании таблицы и условий задачи составим уравнение.

По условиям задачи известно, что время, затраченное на путь по течению реки, на 8 часов меньше, чем время, затраченное на путь против течения реки (пользуемся первым правилом, которое разбирали при решении задач на движение вдогонку). Соответственно:

160 / (х + 5) + 8 = 160 / (х — 5)

Решаем данное уравнение. Для этого приводим дроби к общему знаменателю:

(160 (х – 5) + 8 (х – 5) (х + 5) – 160 (х + 5)) / (х – 5) (х + 5) = 0

(160х – 800 + (8х – 40) (х + 5) – 160х — 800) / (х – 5) (х + 5)  = 0

Умножаем обе части уравнения на (х – 5) (х + 5):

-1600 + 8х2 + 40х – 40х – 200 = 0

8х2 – 1800 = 0

8х2 = 1800

х2 = 225

х1,2 = ±15

3. Возвращаемся к условию задачи. Нам необходимо было найти собственную скорость катера, которую мы обозначили за Х. Так как скорость не может быть отрицательной, то х1 = -15 противоречит условию задачи. Следовательно, собственная скорость катера равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.

Задача 2

Моторная лодка вышла в 9:00 из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми 30 км. Пробыв в пункте Б 3 часа, моторная лодка повернула назад и вернулась в пункт А в 20:00. Найдите скорость течения реки, если известно, что собственная скорость моторной лодки 8 км/ч.

Решение:

1. Обозначим скорость течения реки за х. Остальные данные берем из условия задачи.

Составим таблицу:2. Составим уравнение.

Нам известно, что моторная лодка начала свое движение в 9:00, а закончила в 20:00, а также в течение этого времени пробыла без движения во время стоянки – 3 часа. Таким образом, общее время движения будет 20 – 9 – 3 = 8 часов. Когда речь идет об общем времени движения, то нам нужно сложить время движения по течению и время движения против течения (пользуемся вторым правилом, которое разбирали при решении задач на движение вдогонку). Получаем:

30 / (8+х) + 30 / (8-х) = 8

Решаем полученное уравнение. Для этого приводим дроби к общему знаменателю:

(30 (8+х) + 30 (8-х) – 8 (8-х) (8+х)) / (8-х) (8+х) = 0

Умножаем обе части уравнения на (8-х) (8+х):

240 + 30х + 240 – 30х – (64 – 8х) (8+х) = 0

480 – 512 – 64х + 64х – 8х2 = 0

8х2 = 32

х2 = 4

х1,2 = ±2

3. Возвращаемся к условию задачи. Нам необходимо было найти скорость течения, которую мы обозначили за х. Так как скорость не может быть отрицательной, то х1 = -2 противоречит условию задачи. Следовательно, скорость течения равна 2 км/ч.

Ответ: 2 км/ч.

Итак, мы разобрались, как решать задачи на движения. В ЕГЭ 2019 помимо задач на движение могут содержаться и другие текстовые задачи: на смеси и сплавы, на работу, на проценты. О том, как их решать, вы можете узнать на нашем сайте.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock
detector